AGRICULTURE শব্দটি কোনো ব্যঞ্জনবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে কত রকমে পূনর্বিন্যাস করা যায়?

প্রথমে AGRICULTURE শব্দটির অক্ষরগুলো বিশ্লেষণ করি:

    
• মোট অক্ষর সংখ্যা: ১১টি (A, G, R, I, C, U, L, T, U, R, E)

এবার স্বরবর্ণ (Vowels) এবং ব্যঞ্জনবর্ণ (Consonants) আলাদা করি:

    
• ব্যঞ্জনবর্ণ (Consonants): G, R, C, L, T, R (মোট ৬টি)। এখানে 'R' ব্যঞ্জনবর্ণটি ২ বার আছে।
    
• স্বরবর্ণ (Vowels): A, I, U, U, E (মোট ৫টি)। এখানে 'U' স্বরবর্ণটি ২ বার আছে।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, কোনো ব্যঞ্জনবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন করা যাবে না। এর অর্থ হলো, ব্যঞ্জনবর্ণগুলো তাদের নির্দিষ্ট স্থানেই থাকবে। শুধুমাত্র স্বরবর্ণগুলোকে তাদের নিজেদের স্থানগুলোতে (অর্থাৎ, যে স্থানগুলোতে এখন স্বরবর্ণগুলো আছে) পুনর্বিন্যাস করা যাবে।

আমাদের হাতে ৫টি স্বরবর্ণ আছে যাদের পুনর্বিন্যাস করতে হবে: A, I, U, U, E।

এই ৫টি স্বরবর্ণের মধ্যে 'U' অক্ষরটি ২ বার আছে। যখন কোনো শব্দের অক্ষরগুলোর মধ্যে কিছু অক্ষর একাধিকবার থাকে, তখন তাদের পুনর্বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

যদি \(n\) সংখ্যক বস্তুর মধ্যে \(p_1\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকারের, \(p_2\) সংখ্যক বস্তু অন্য প্রকারের ইত্যাদি হয়, তবে তাদের বিন্যাস সংখ্যা হবে:

এখানে, স্বরবর্ণের ক্ষেত্রে:

    
• মোট স্বরবর্ণ \(n = 5\)
    
• 'U' অক্ষরটি ২ বার আছে, অর্থাৎ \(p_1 = 2\)

সুতরাং, স্বরবর্ণগুলোর পুনর্বিন্যাসের সংখ্যা হবে:

এখন, মান নির্ণয় করি:

অতএব, পুনর্বিন্যাসের মোট সংখ্যা = \( \frac{120}{2} = 60 \)

সুতরাং, ব্যঞ্জনবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে AGRICULTURE শব্দটি 60 রকমে পুনর্বিন্যাস করা যায়।